Литература

Лазерная локация земли и леса

3.2. Отражение лазерного луча от наземных объектов

Здесь и в дальнейшем исследуется отражение лазерного луча от объектов цилиндрической формы с относительно малым сечением. Примерами таких объектов могут выступать ветви деревьев, провода или тросы ЛЭП и др.

При описании процесса отражения лазерного луча от проводов первостепенное значение имеет корректное использование понятия «коэффициента отражения» simbol_16.png. Величина simbol_16.png в общем случае является двунаправленной, она зависит как от угла падения, так и от направления отраженного излучения. Кроме того, определенную трудность создает тот факт, что падающее излучение мы условились характеризовать величиной E, являющейся производной от величины потока по площади, в то время как подобная величина неприменима для характеристики отраженного излучения. Поэтому начнем с формального введения понятия  коэффициента отражения применительно к задачам настоящего исследования.

Введем следующие обозначения:

simbol_17.png – величина потока, падающего под некоторым углом на площадку малой площади dS.

simbol_18.png – величина потока, отраженного от площадки во всю полусферу.

Исходя из введенных определений, полусферическим коэффициентом отражения simbol_16.png, может быть названа величина:

formula_28.png

К введенному таким образом коэффициенту simbol_16.png применимо соотношение – simbol_16.png + simbol_6.gif = 1, где simbol_6.gifкоэффициент поглощения. Величины simbol_16.png и simbol_6.gif являются безразмерными.

Перейдем к определению направленного коэффициента отражения simbol_19.png. Сразу оговорим, что в дальнейшем будет проведен количественный анализ только отражения диффузного типа по причинам, которые будут рассмотрены ниже. Диффузное отражение, в частности, характеризуется тем, что индикатриса отраженного излучения не зависит от угла падения, а зависит только от величины потока. Это обстоятельство позволяет уже сейчас рассматривать simbol_19.png как однонаправленную величину, зависящую только от угла отражения simbol_20.png.

pic_24.png
Рисунок 24. К определению двунаправленного коэффициента отражения

Обратимся к рисунку 24. Будем облучать бесконечно малую площадку dS потоком со значением поверхностной плотности потока перпендикулярно к поверхности площадки. Рассмотрим simbol_21.png – доля отраженного потока, заключенного в телесном угле simbol_22.png, имеющего осью вектор заданного направления m. Теперь определим двунаправленный коэффициент отражения simbol_19.png как:

formula_29.png

Величина simbol_19.png имеет размерность ср_1.gif.

Представим два важных соотношения с участием simbol_19.png ,имеющих практическое значение:

formula_30.png

Как будет показано ниже, это соотношение позволяет в определенных случаях оценить значения simbol_19.png по simbol_16.png. Значения simbol_16.png для многих материалов могут быть получены из справочников.

Интенсивность отраженного излучения –

formula_31.png

может быть найдена по формуле formula_33.pngгде simbol_23.png – угол между направлением потока излучения и вектором нормали к поверхности в точке падения.

Выражение может быть уточнено, исходя из априорных знаний, по характеру диффузного отражения, а именно simbol_19.png не зависит от угла падения simbol_23.png и зависит только от угла отражения simbol_20.png, который также измеряется по отношению нормали к облучаемой поверхности. Кроме того, априорно известно, что simbol_19.png выражается формулой formula_34.pngгде simbol_24.png – значение направленного коэффициента отражения в направлении перпендикуляра к поверхности.

Оценим значение simbol_24.png следующим образом. Введя сферическую систему координат, где simbol_6.gif угол отклонения от нормали, а simbol_25.png угол места имеем – formula_35.png

Тогда,

formula_32.png

Таким образом,

formula_36.png

Как будет показано в дальнейшем, во всех случаях нас будет интересовать отражение в сторону падения излучения, т.е. formula_40.png

Это позволяет прямо сейчас сделать одно полезное упрощение. Будем обозначать через simbol_26.pngнаправленный коэффициент отражения в сторону падения излучения. Тогда,

formula_37.png

Откуда

formula_38.png

Окончательно имеем

formula_39.png

Перейдем к выводу формулы, определяющей интенсивность потока, отраженного от объекта цилиндрической формы (например, провода или ветви дерева) и попадающего на входной зрачок приемника излучения. Обозначим через simbol_27.png радиус поперечного сечения такого объекта. Введем специальную систему координат, которая будет использоваться при вычислении, как показано на рисунке 25.

pic_25.png
Рисунок 25. Специальная система координат для описания отражения зондирующего луча от провода (ветви дерева)

Положение элементарного участка по-верхности провода dS будем характеризовать его линейной координатой вдоль оси провода и углом simbol_25.png, измеренным относительно зенитного направления.

Очевидно, что formula_41.png

Необходимо сделать два замечания:

  1. при вертикальном расположении сканерного блока распространение падающего излучения можно считать параллельным оси Z. Строго говоря, это не так, так как сканирование осуществляется с углами до ±25° от вертикали. Однако в дальнейшем полагается, что объекты расположены в плоскости, перпендикулярной плоскости сканирования;
  2. величина simbol_27.png может считаться малой по сравнению с эффективным радиусом луча RH  при H от 100 м и более. Поэтому величина может считаться константой по ширине провода.

С учетом вышеизложенного вычислим величину потока в единице телесного угла, отраженного от цилиндрического элемента объекта длиной dl:

formula_42.png

После взятия интеграла будем иметь:

formula_43.png

Продолжим вывод формулы, определяющий поток, отраженный от объекта цилиндрической формы. Рассмотрим объект, удаленный от оси луча на расстояние d, а начало оси l  расположим в точке 0, соответствующей кратчайшему расстоянию до оси провода (ветви дерева) (рис. 26).

pic_26.png
Рисунок 26. Положение объекта в поперечном сечении зондирующего луча

Распределение поверхностной плотности потока падающего излучения вдоль объекта будет выражаться формулой:

formula_44.png

Подставим выражение для E(lв формулу для Rm, полученную ранее. Перед началом вывода формулы сделаем следующие замечания:

  1. при реальных высотах полета угловой размер входного зрачка приемника мал, и поэтому отраженный поток, регистрируемый приемником, может быть выражен как
  2. formula_45.png где  formula_46.png – телесный угол, соответствующий входному зрачку приемника, Sпр – площадь входного зрачка приемника;
  3. допустим следующие упрощения, которые позволят получить аналитическое выражение для искомой величины:
  • будем рассматривать только строго вертикальную составляющую отраженного излучения. Точнее было бы учитывать направление от каждой точки отражения на приемник. Однако, вариации этого направления малы, учитывая размер пятна и расстояние до приемника;
  • границы интегрирования распространим на всю длину провода. Ошибка в этом случае будет определяться величиной потока, отраженного за пределами мгновенного поля зрения приемника. Эта величина мала.

Перейдем непосредственно к выводу формулы:

formula_47.png

Интеграл в правой части этого выражения может быть вычислен аналитически:

formula_48.png

Подставляя найденное значение в формулу для simbol_18.png, а также принимая во внимание тот факт, что излучение претерпевает ослабление на пути от источника к проводу и обратно к приемнику, имеем окончательно:

formula_49.png

Где, simbol_28.png – поток на входном зрачке приемника при перпендикулярном облучении.

Полученная формула выражает величину потока при вертикальном облучении и полностью диффузном характере отражения. Рассмотрим другие практически важные случаи.

Прежде всего рассмотрим сканирование с наклонным положением сканерного блока. Угол наклона плоскости сканирования по отношению к вертикали будем обозначать через simbol_29.png. При вычислении значения потока, вернувшегося на входной зрачок simbol_30.png, будем пользоваться тем же приемом, что и в случае вертикального положения сканерного блока. Использованные формулы необходимо скорректировать следующим образом:

а) при вычислении отклика от элементарного участка провода (ветви) dl учтем наличие угла g  следующим образом (рис. 27).

pic_27.png
Рисунок 27. . К определению доли потока, отраженного от линейного участка объекта dl

Угол падения simbol_31.png в этом случае есть угол между векторами (единичный вектор обратного к направления) и n. Для того, чтобы выполнить интегрирование по simbol_25.png, необходимо найти зависимость между simbol_31.png и simbol_25.png.

Разложим вектора e и в системе координат (xlz).

Вектор eformula_50.pngВектор n: formula_51.png.

Тогда

formula_52.png

Таким образом, в соответствии с общей формулой имеем:

formula_53.png

После вычисления интеграла получим:

formula_54.png

б) Для определения распределения E(l) вдоль объекта обратимся к рисунку 28.

pic_28.png
Рисунок 28. . Положение объекта в поперечном сечении зондирующего луча при наклонном сканировании

Очевидно, что распределение E(l'),полностью соответствует формуле полученной для случая строго вертикального сканирования, а l' = lcos(simbol_29.png).>

Пятно импульса в плоскости провода (ветви) для этого случая будет иметь форму эллипса с полуосями, равными simbol_15.png и formula_55.png. Это позволяет записать выражение дляE(lпри наличии наклона сканера в виде:

formula_56.png

В соответствии с общей формулой имеем:

formula_57.png

С учетом того, что

formula_58.png

имеем:

formula_59.png

Таким образом, получена главная формула, определяющая значение потока при наклонном положении сканерного блока:

formula_60.png

Очевидно также, что значение потока, приведенного ко входному зрачку приемника, будет выражаться аналогично:

formula_61.png